《モンテカルロ法》

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【もんてかるろほう (Monte Carlo method) 】

　システムの特性値などを推定するために, 適当なモデルと乱数を使って実験し, 大数の法則や中心極限定理などを利用して推測を行う方法のこと. システムに確率的な変動が内在する場合だけでなく, 確定的な問題を解くためにも使われる.

　モンテカルロ法の原理を簡単な例で示そう. 推定したい特性値を $\theta \,$ とし, これは既知の分布関数 $F(y) \,$ を持つ確率変数 $Y \,$ の関数 $g(Y) \,$ の平均値に等しいものとすれば,

$\theta = E[g(Y)]=\int_{-\infty}^\infty g(y)\mathrm{d}F(y) = \int_0^1 h(u) \mathrm{d}u, \,$

と書ける. ただし, $h(u)=g(F^{-1}(u)) \,$ である. そこで, 区間[0,1]上の一様乱数 $U_1, U_2, \cdots, U_N \,$ を発生し, 算術平均

$A_1(N) = \sum_{i=1}^N h(U_i)/N \,$

を $\theta \,$ の推定値とすることが考えられる. $A_1(N) \,$ は $\theta \,$ の不偏推定量であり, 分散は

$V(A_1(N)) = \frac{\sigma^2}N, \ \ \ \ \ \sigma^2 = \int_0^1 h^2(x) \mathrm{d}x-\theta^2 \,$

となる. したがって, 推定量 $A_1(N) \,$ に含まれる誤差の標準偏差は $\sigma/\sqrt N \,$ であり, 精度を十進で1桁上げるためには, サンプル数 $N \,$ を100倍に増やさなければならない. このように, モンテカルロ法の収束は遅いので, これを改善するための方法が種々提案されており, 分散減少法と総称されている. ただし, これらは $1/\sqrt N \,$ というオーダーを改善するものではなく, 比例係数を小さくするための工夫である.

［重点サンプリング］

　積分区間から一様にサンプルをとるのではなく, 重要と考えられる部分( $h(x) \,$ の絶対値が大きい部分)により多くの重みをおく密度関数 $w(x) \,$ に従う乱数 $X_1,\cdots, \ \ X_N \,$ を発生し,

$A_2(N) = \frac 1 N \sum_{i=1}^N \frac{h(X_i)}{w(X_i)} \,$

で $\theta \,$ を推定する. $w(x) \,$ が $\left| h(x) \right| \,$ に比例するように選べれば分散は最小となるので, なるべくそれに近くなるように工夫する.

［制御変量法］

　 $\theta \,$ に対するひとつの不偏推定量を $Y \,$ とする. $Y \,$ と相関があって平均値 $\zeta \,$ が既知の確率変数 $Z \,$ のことを, $Y \,$ の制御変量という. $\alpha \,$ を定数として

$Y_\alpha = Y-\alpha(Z-\zeta) \,$

と定義すれば, $Y_\alpha \,$ も $\theta \,$ の不偏推定量となり, その分散は $\alpha^* = \mathrm{Cov}(Y, Z)/V(Z) \,$ のとき最小となり, 最小値は

$V(Y_{\alpha^*})=(1-\rho^2)V(Y) \,$

である. ここで $\rho \,$ は $Y \,$ と $Z \,$ の相関係数であるから, $Y \,$ と相関の強い制御変量を選ぶほど効果的である.

　定積分の例では, $h(u) \,$ に近い関数 $h_0(u) \,$ で, その積分の値 $\zeta \,$ が正確に計算できるものを選び,

$Y_\alpha = h(u)-\alpha(h_0(u)-\zeta) \,$

に対して単純な一様サンプリングを適用する.

［負相関変量法］

　 $\theta \,$ の不偏推定量 $Y \,$ と平均値が同じで負の相関を持つ変量 $Z \,$ を利用して, $W=(Y+Z)/2 \,$ を $\theta \,$ の推定量とする. この分散は, $Y \,$ に対して2回独立にサンプルをとって平均する場合の分散より小さくなる. 定積分の例では, もし $h(u) \,$ が単調な関数ならば, $Y=h(U),\;\;\;Z=h(1-U) \,$ とするとよい.

［共通乱数法］

　二つの特性値 $\theta,\phi \,$ をそれぞれ確率変数 $X,Y \,$ に関するモンテカルロ実験によって推定し, 比較したいものとし, $\theta=E[X], \phi=E[Y] \,$ とする.

$V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2 \mathrm{Cov}(X,Y) \,$

であるから, ${\mathrm{Cov}}(X,Y) \,$ が大きいほど推定の精度が良くなる. $X \,$ と $Y \,$ の分布関数をそれぞれ $F,G \,$ とし, $X \,$ と $Y \,$ を逆関数法で作るものとする. このとき, $X \,$ と $Y \,$ 用に別々の一様乱数列を使う代りに, ひとつの乱数列 $\{U\} \,$ を使って, $X=F^{-1}(U), Y=G^{-1}(U) \,$ とすれば, $\mathrm{Cov}(X,Y) \,$ が最大となる. これが共通乱数法の原理である.