《巡回セールスマン問題》

出典: ORWiki

【じゅんかいせーるすまんもんだい (traveling salesman problem) 】

　点集合 V\,，枝集合 E\, から構成されるグラフ G=(V,E)\,, 枝 (i,j) \in E\, 上の距離 d_{ij}\, が与えられたとき，点集合 V\, のすべての点をちょうど1回ずつ経由する巡回路（ハミルトン閉路）で，枝の距離の合計を最小にするものを求める問題を巡回セールスマン問題 (traveling salesman problem) （行商人問題）とよぶ．

　特に，距離の対称性（d_{ij}=d_{ji}\,）を満たすものを対称巡回セールスマン問題，三角不等式（d_{ij} \leq d_{ik} + d_{kj}\,）を満たすものを三角不等式を満たす巡回セールスマン問題，点集合が d\, 次元超立方体 [0,1]^d\, 内に分布しており，2\, 点間の距離が点間のユークリッド距離で定義されたものをユークリッド巡回セールスマン問題 (Euclidean (Euclidian) traveling salesman problem) とよぶ．

　巡回セールスマン問題に対する応用は，数百点を扱う基盤配線，運搬経路計画，スケジューリング，数万点を扱う基盤穿孔，X線結晶構造解析 (タンパク質の構造解析)，数百万点を扱うVLSI設計など，さまざまである．また，次世代のVLSI設計においては，数千万点の問題を解く必要があると言われている．

　巡回セールスマン問題は，NP困難 (NP-hard) であり, 多項式時間の厳密解法が絶望視されているばかりでなく，近似比が 一定値\alpha (<\infty)\, で抑えられる多項式時間の近似解法さえ{\rm P} \neq {\rm NP}\, のもとでは存在しないことが示されている．

　三角不等式を満たす対称巡回セールスマン問題に対しては，近似比が 3/2\, 以下の保証をもつ多項式時間の近似解法が知られている．また，d\, を定数としたときの d\, 次元ユークリッド巡回セールスマン問題に対しては，固定された \epsilon >0\, を与えたときに，近似比が 1+\epsilon\, 以下に抑えられる多項式時間の近似解法（近似スキーム）が存在する．

　実用的な近似解法としては，最近近傍法 (nearest neighbor method) やセービング法 (saving method) によって構築された巡回路をk-opt法 (k\,-opt)で改善する方法が一般的である．厳密解法としては，巡回セールスマン問題の多面体構造（TSP多面体(TSP polytope)）を利用した分枝カット法 (branch and cut method) が有効であり，実務的な大規模問題の求解に成功している．


参考文献

[1] 山本芳嗣, 久保幹雄,『巡回セールスマン問題への招待』, 朝倉書店，1997.

"http://www.orsj.or.jp/~wiki/wiki/index.php/%E3%80%8A%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E3%82%BB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%80%8B" より作成