《SBMモデル》

出典: ORWiki

【SBMもでる (slacks-based measure model) 】

　加法モデルの目的関数の値は評価尺度の大きさの影響を受け, また, 値の範囲も限定されていないので, 目的関数の値だけで, 効率性を議論しにくい. そこで, 刀根は測定単位に依存せず, スラックの関して単調減少する尺度を用いた次のSBM (Slacks-Based Measure)モデルを提案した [1].

SBMモデル

目的: \min \rho = \frac{\displaystyle 1 - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}s_{i}^{-}/x_{io}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}s_{r}^{+}/y_{ro}} \,
制約: X{\mathbf{\lambda}} + {\mathbf s}^{-} = \mathbf {x}_{o}\,
Y \mathbf{\lambda} - \mathbf{s}^{+} = \mathbf{y}_{o}\,
\mathbf{\lambda} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{-} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{+} \geq \mathbf{0}\,


ただし, \mathbf{e}^{t} \mathbf{\lambda}=1\,の制約は除いている. また, すべてのデータは正であることを仮定している. 目的関数の右辺の分母, 分子に\phi\,を掛けて分母が1になるようにすると, この問題は分子の最小化問題となり, 次のように定式化できる.


目的: \min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\phi s_{i}^{-}/x_{io} \,
制約: \phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\phi s_{r}^{+}/y_{ro} = 1\,
X \mathbf{\lambda} + \mathbf{s}^{-} = \mathbf{x}_{o}\,
Y \mathbf{\lambda} - \mathbf{s}^{+} = \mathbf{y}_{o}\,
\mathbf{\lambda} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{-} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{+} \geq {\mathbf 0}\,


制約の第2式, 第3式の両辺に\phi\, を掛けて, \phi s_i^{-} = \alpha_i, \ \phi s_r^{+} = \beta_r, \phi \lambda_j = \gamma_j\, と置くと


目的: \min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io} \,
制約: \phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro} = 1\,
\sum_{j=1}^n x_{ij}\gamma_j + \alpha_i = \phi x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m)\,
\sum_{j=1}^n y_{rj}\gamma_j - \beta_r = \phi y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s)\,
\alpha_i \geq 0 \ (i = 1, \ldots, m), \ \ \beta_r \geq 0 \ (r = 1, \ldots, s), \ \ \gamma_j \geq 0 \ (j = 1, \ldots, n), \ \ \phi \geq 0\,


となり, \alpha_i \ (i = 1, \ldots, m), \ \ \beta_r \ (r = 1, \ldots, s), \ \ \gamma_j \ (j = 1, \ldots, n), \ \ \phi\,に関するLPとして解くことが出来る.

　分母を1と置いて分子の最小化を図ったが, 分子を1と置いて分母の最大化を図ることも考えられる. その場合には


目的: \max \rho^{-1} = \phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro} \,
制約: \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io} = 1\,
\sum_{j=1}^n x_{ij}\gamma_j + \alpha_i = \phi x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m)\,
\sum_{j=1}^n y_{rj}\gamma_j - \beta_r = \phi y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s)\,
\alpha_i \geq 0 \ (i = 1, \ldots, m), \ \ \beta_r \geq 0 \ (r = 1, \ldots, s), \ \ \gamma_j \geq 0 \ (j = 1, \ldots, n), \ \ \phi \geq 0 \,


である.

　入出力({\mathbf x}_o, {\mathbf y}_o)\, を持つDMU O\, は \rho\, の最適(最小)値\rho^{*}\, が 1 の場合に限りSBM効率的であると言われる.

　刀根は, さらにSBM効率的なDMU O\, に対して1以上の効率値を与えることのできる次のSuperSBMモデルを提案している [2].


SuperSBMモデル


目的: \delta^{*} = \min \delta = \frac{\displaystyle \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\bar{x}_i/x_{io}}{\displaystyle \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\bar{y}_r / y_{ro}} \,
制約: \bar{x}_i \geq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j x_{ij} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \,
\bar{y}_r \leq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j y_{rj} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \,
\bar{x}_i \geq x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m)\,
0\leq \bar{y}_r \leq y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s)\,
\lambda_j \geq 0\,


　超効率値\delta^{*}\,も単位不変である（測定単位の影響を受けない）.


参考文献

[1] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Efficiency in Data Envelopment Analysis," European Journal of Operational Research, 130 (2001), 498-509.

[2] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Super-efficiency in Data Envelopment Analysis," European Journal of Operational Research, 143 (2002), 32-41.

"http://www.orsj.or.jp/~wiki/wiki/index.php/%E3%80%8ASBM%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E3%80%8B" より作成