エルゴード定理

出典: ORWiki

【えるごーどていり (ergodic theorem)】

定常な離散時間確率過程 $\{ X_n \} \,$ が有限な平均値をもつならば, 確率1で

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mbox{E}(X_1|\mathcal{G}) \,$

が成り立つ. ここで, $\mathcal{G} \,$ は $\{ X_n \} \,$ のずらしに関する不変事象の $\sigma \,$ -集合体である. この結果を, (離散時間)エルゴード定理と呼ぶ. 特に、 $\{ X_n\} \,$ がエルゴード的ならば右辺は $\mbox{E}(X_1) \,$ となる。連続時間確率過程についても同様である。