オルンシュタイン・ウーレンベック過程

出典: ORWiki

【おるんしゅたいんうーれんべっくかてい (Ornstein-Uhlenbeck process)】

\{B(t)\}_{t\ge0} \, をブラウン運動とするとき, ランジュバン (Langevin) の方程式と呼ばれる確率微分方程式~\mathrm{d} U(t) = -\alpha\,U(t)\,\mathrm{d} t + \sigma\,\mathrm{d} B(t) \,(\alpha>0 \,, \sigma>0 \,) の解


U(t) = \mathrm{e}^{-\alpha t}\, \Bigl(U(0) + \sigma\int_0^t\mathrm{e}^{\alpha s}\,\mathrm{d} B(s)\Bigr) \,


によって表される確率過程~\{U(t)\}_{t \ge 0} \,. この確率過程は連続な標本路をもつマルコフ過程であり, U(0)=x \, のもとで正規型の定常分布~\mbox{N}(x,\sigma^2/(2\,\alpha)) \, をもつ.

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