フェンシェルの双対性

出典: ORWiki

【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】

2つの下半連続な真凸関数 k: {\mathbf R}^n\to\bar{{\mathbf R}} と h: {\mathbf R}^m\to\bar{{\mathbf R}}, および A\in{{\mathbf R}^{m\times{n}}}, b\in{{\mathbf R}^m}, c\in{{\mathbf R}^n} に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと.

\begin{array}{l} \displaystyle{ \min_{x\in{{\mathbf R}^n}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},} \\ \displaystyle{ \max_{y\in{{\mathbf R}^m}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\} } \end{array}


ここで, * は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 f1(x) と凹関数 f2(x) の差で表した主問題 minx{f1(x) − f2(x)} に対して, \max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\} をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.

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