フラクタルブラウン運動

出典: ORWiki

【 ふらくたるぶらうんうんどう (fractal Brownian motion) 】

平均が0となるように値をずらせた確率過程X(t)が ガウス過程， すなわち， 任意の正の整数nと任意の0 < t_{1} < \cdots < t_{n}に 対して， X(t_{1}), X(t_{2}), \cdots, X(t_{n})の結合分布が 多次元正規分布に等しいとする． この確率過程は， 共分散が0 < H < 1を満たす定数Hに対して，

Cov(X(s),X(t)) = \frac 12 (t^{2H} + s^{2H} - (t-s)^{2H}), \qquad t > s > 0

であるとき， ハースト定数Hをもつ自己相似過程となる． この自己相似過程を， ハースト定数Hをもつフラクタルブラウン運動と呼ぶ． 特に，H=\frac 12ならばブラウン運動に等しい． H > \frac 12ならばHが大きいほど強い正の相関をもち，0 < H < \frac 12ならば負の相関をもつ．

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