ラグランジュ関数

出典: ORWiki

【らぐらんじゅかんすう (Lagrangian function)】

非線形計画問題

$\begin{array}{lll} \mbox{min.} & f_0(x) & \\ \mbox{s.t.} & g_i(x) \le 0, & i=1,\dots,k, \\ & h_j(x) = 0, & j=1,\dots,l \end{array}$

に対して次式で定義される関数 $L\,$ をラグランジュ関数という.

$L(x,\lambda,\mu):=f_0(x)+\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}g_{i}(x) +\sum_{j=1}^{l}\mu_{j}h_{j}(x)$

また, $(\lambda,\mu)=(\lambda_{1},\dots,\lambda_{k},\mu_{1},\dots,\mu_{l}) \in{{\mathbf R}^{k}_{+}\times{{\mathbf R}^{l}}} \,$ をラグランジュ乗数と呼ぶ. ラグランジュ関数は数理計画全般において重要な役割を果たす.