一般化ニュートン法

出典: ORWiki

【いっぱんかにゅーとんほう (generalized Newton method)】

滑らかでないベクトル値関数 F: \mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^n \, に対して方程式 F(x)=0 \, を解く場合, 一般化ニュートン法が提案されている. 例えば, F \, が局所リプシッツ(Lipschitz)連続ならば点 x \, における F \, の一般化ヤコビ行列の1つとして


\partial F(x) := \mbox{co} \left\{ \lim_{x_i\to x,\ x_i\in D_F} \nabla F(x_i) \right\}\ \ \,

\Bigl( \,

D_F \, は F(x) \,が微分可能な点の集合,
\mathrm{co} \, は集合の凸包を表す

\Bigr) \,


が定義され, 一般化ニュートン法の反復式は次式で与えられる.


x_{k+1} := x_k - J_k^{-1}F(x_k), \qquad J_k \in \partial F(x_k) \,

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