分布の弱収

出典: ORWiki

【ぶんぷのじゃくしゅうそく (weak convergence of distribution) 】

$(S,\mathcal{B}(S))\,$ を $S\,$ を距離空間とするボレル可測空間とする．この可測空間上の確率分布の列 $\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots\,$ と確率分布 $\nu\,$ が， $(S,\mathcal{B}(S))\,$ 上の任意の有界な実数値連続関数 $f\,$ に対して，

$\lim_{n \to \infty} \int_{S} f(x) \mu_{n}(dx) = \int_{S} f(x) \nu(dx)$

を満たすとき， $n \to \infty\,$ に対して $\mu_{n}\,$ は $\nu\,$ へ弱収束するという．これは $\mathbf{X}_{n}\,$ を確率分布 $\mu_{n}\,$ に従うランダムな変量， $\mathbf{Y}\,$ を確率分布 $\nu\,$ に従うランダムな変量とするとき， $(S,\mathcal{B}(S))\,$ 上の任意の有界な実数値連続関数 $f\,$ に対して