劣勾配

出典: ORWiki

【れつこうばい (subgradient)】

真凸関数 $f: {\mathbf R}^n \to (-\infty,+\infty)\,$ に対して, 次式を満足するベクトル $\xi \in {\mathbf R}^n\,$ を $f\,$ の $x\,$ における劣勾配といい, 劣勾配全体の集合を $\partial f(x)\,$ と表す.

$f(y) \ge f(x) + \xi^{\top}(y-x) \quad\quad \forall \, y \in {\mathbf R}^n$

真凸関数はその実効定義域 $\mbox{dom} \, f := \{ x \, | \, f(x) < \infty \}\,$ の任意の相対的内点において, 少なくとも1つの劣勾配をもつ. 特に, 凸関数 $f\,$ が点 $x\,$ において微分可能ならば, $f\,$ の $x\,$ における劣勾配は唯一存在し, 通常の勾配 $\nabla f(x)\,$ に等しい.