多次元正規分布

出典: ORWiki

【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを \boldsymbol{\mu} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n)) \,, (分散)共分散行列を \mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n} \, とすると, n \, 次の多次元正規分布の確率密度関数は \boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n) \, として


f(\boldsymbol{x})= \displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp} \left[ - \frac{1}{2} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) \mathbf{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top} \right] } \,


で与えられる. ただし, \boldsymbol{x}^{\top} \, はベクトル \boldsymbol{x} \, の転置, |\mathbf{\Sigma}| \, は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.

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