安定分布

出典: ORWiki

【 あんていぶんぷ (stable distribution) 】

確率変数列X_{1}, X_{2}, \cdotsは独立で同一の分布Fに従うとする．このとき，任意のnに対して，ある数an,bnがあり，

X_{1} + \cdots + X_{n} \cong a_{n} X_{1} + b_{n}

ならば，Fは安定（stable）であるという．ここに，\congは分布が等しいことを表す．Fが安定ならば，0 < \alpha \le 2を満たすあるαに対して，a_{n} = n^{\frac 1{\alpha}}が成り立つ．このとき，Fはα − 安定であるという．例えば，正規分布はα = 2の安定分布であり，コーシー分布（Cauchy distribution）はα = 1の安定分布である．ここに，コーシー分布とは密度関数

f(x) = \frac {a} {\pi ((x-b)^{2} + a^{2})}, \qquad -\infty < x < \infty

をもつ分布である．ここに，aは正の定数，bは実数の定数である．

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