巡回セールスマン問題

出典: ORWiki

【じゅんかいせーるすまんもんだい (traveling salesman problem (TSP))】

概要

枝に重みを与えたグラフ $G\,$ において, すべての点を丁度1度ずつ訪問して元に戻る巡回路(ハミルトン閉路)のうち, 総重みを最小にするものを求める問題. グラフの枝が有向であるか無向であるかで大別する. 平面上(あるいは空間内)の $n\,$ 点と各点の間の距離が与えられたとき, すべての点を訪問する順回路のうち最短のものを求める問題, と定義されることもある. 代表的な組合せ最適化問題の1つ.

詳説

　点集合 $V\,$ ，枝集合 $A\,$ から構成されるグラフ $G=(V,A)\,$ , 枝 $(i,j) \in A\,$ 上の距離 $d_{ij}\,$ が与えられたとき，点集合 $V\,$ のすべての点をちょうど1回ずつ経由する巡回路（ハミルトン閉路）で，枝の距離の合計を最小にするものを求める問題を巡回セールスマン問題 (traveling salesman problem) （行商人問題）とよぶ．

　特に，距離の対称性（ $d_{ij}=d_{ji}\,$ ）を満たすものを対称巡回セールスマン問題，三角不等式（ $d_{ij} \leq d_{ik} + d_{kj}\,$ ）を満たすものを三角不等式を満たす巡回セールスマン問題，点集合が $d\,$ 次元超立方体 $[0,1]^d\,$ 内に分布しており， $2\,$ 点間の距離が点間のユークリッド距離で定義されたものをユークリッド巡回セールスマン問題 (Euclidean (Euclidian) traveling salesman problem) とよぶ．

　巡回セールスマン問題に対する応用は，数百点を扱う基盤配線，運搬経路計画，スケジューリング，数万点を扱う基盤穿孔，X線結晶構造解析 (タンパク質の構造解析)，数百万点を扱うVLSI設計など，さまざまである．また，次世代のVLSI設計においては，数千万点の問題を解く必要があると言われている．

　巡回セールスマン問題は，NP困難 (NP-hard) であり, 多項式時間の厳密解法が絶望視されているばかりでなく，近似比が一定値 $\alpha (<\infty)\,$ で抑えられる多項式時間の近似解法さえ ${\rm P} \neq {\rm NP}\,$ のもとでは存在しないことが示されている．

　三角不等式を満たす対称巡回セールスマン問題に対しては，近似比が $3/2\,$ 以下の保証をもつ多項式時間の近似解法が知られている．また， $d\,$ を定数としたときの $d\,$ 次元ユークリッド巡回セールスマン問題に対しては，固定された $\epsilon >0\,$ を与えたときに，近似比が $1+\epsilon\,$ 以下に抑えられる多項式時間の近似解法（近似スキーム）が存在する．

　実用的な近似解法としては，最近近傍法 (nearest neighbor method) やセービング法 (saving method) によって構築された巡回路をk-opt法 ( $k\,$ -opt)で改善する方法が一般的である．厳密解法としては，巡回セールスマン問題の多面体構造（TSP多面体(TSP polytope)）を利用した分枝カット法 (branch and cut method) が有効であり，実務的な大規模問題の求解に成功している．