拡張ラグランジュ関数

出典: ORWiki

【かくちょうらぐらんじゅかんすう (augmented Lagrangian function)】

関数 f:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \, に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 \bar{L}:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \, のこと.


\bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\} \,


ただし, r \, は正定数, \sigma:\mathbf{R}^{m}\rightarrow\bar{\mathbf{R}} \, は u\neq{0} \, に対して 0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)} \, を満足する下半連続な真凸関数(例えば, \sigma{(u)}:=1/2\|u\|^{2} \, など). 関数 \bar{L} \, を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.

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