楕円体

出典: ORWiki

【だえんたい (ellipsoid)】

楕円体は, 2次元空間における楕円の概念を, $n \,$ 次元空間において一般化したものである. 1つのベクトル $x_* \in \mathbf{R}^n \,$ および $n \times n \,$ 正定値対称行列 $B \,$ を用いて,

$E = \{x \in \mathbf{R}^n \mid (x - x_*)^{\top} B^{-1}(x - x_*) \leq 1\} \,$

と表される集合が楕円体である. ここで, $x_* \,$ は楕円体 $E \,$ の中心と呼ばれる. $B = J J^{\top} \,$ と分解されるとき, $E = \{x_* + J y \mid \|y\| \leq 1\} \,$ と表される. したがって, 楕円体 $E \,$ は単位球をアフィン変換 $y \mapsto x_* + J y \,$ により写した像である.