特性関数 (確率変数の)

出典: ORWiki

【とくせいかんすう (characteristic function)】

累積分布関数 $F(x)\,$ をもつ確率変数 $X\,$ に対して, $\textstyle \phi(t)=\mathrm{E}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}tX})=\int \mathrm{e}^{\mathrm{i}tx} \mathrm{d} F(x)\,$ で定義される関数を特性関数という. ただし, $t\,$ は実数パラメータ, $\mathrm{i}\,$ は虚数単位. 特性関数は累積分布関数と1対1に対応している．また特性関数の $j\,$ 次の微分係数から $j\,$ 次モーメントを求めることができる. 確率変数の和の分布の導出や, 確率分布列の収束等の証明にも利用される.