確率積分

出典: ORWiki

【かくりつせきぶん (stochastic integral)】

ブラウン運動 \{B(t)\}_{t\ge0} \, と \textstyle \mathrm{E} (\int_0^t \Psi(s)^2\, \mathrm{d} s )<\infty \, を満たす確率過程 \{\Psi(s)\}_{t\ge 0} \, に対し, [0,t] \, を 0=t_0<t_1<\cdots<t_n=t \, かつ \lim_{n \to \infty}\max_i(t_{i+1}-t_i)=0 \, となるように分割したとき,

N(t)=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} \Psi(t_i)\,\bigl(B(t_{i+1}) - B(t_i)\bigr) \,


によってマルチンゲール\{N(t)\}_{t\ge0} \, が一意に定まる. この \{ N(t) \}_{t \ge 0} \, を \{B(t)\}_{t\ge0} \, による \{\Psi(t)\}_{t\ge0} \,の(伊藤型の)確率積分という.

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