積率母関数

出典: ORWiki

【せきりつぼかんすう (moment generating function)】

累積分布関数 $F(x) \,$ をもつ確率変数 $X \,$ に対して, 実数 $\theta \,$ をパラメータとする関数 $\textstyle \phi(\theta)=\mathrm{E}(\mathrm{e}^{\theta X})=\int \mathrm{e}^{\theta x} \mathrm{d}F(x) \,$ を積率母関数と呼ぶ. 積率母関数が存在するためには, 任意の次数のモーメントが存在しなければならないが, よく使われる多くの分布は積率母関数が存在する. 積率母関数が存在する場合には, $\theta \,$ に形式的に $\mbox{i}t \,$ ( $\mbox{i} \,$ は虚数単位)を代入することで特性関数が得られる.