自己回帰和分移動平均モデル

出典: ORWiki

【じこかいきわぶんいどうへいきんもでる (autoregressive integrated moving average (ARIMA) model)】

$y_{t} \,$ を非定常過程とし, $\varepsilon_{t} \,$ を $\mbox{E}(\varepsilon_{t})=0 \,$ , $\mbox{V}(\varepsilon_{t})=\sigma^{2} \,$ , $\mbox{E}(\varepsilon_{t}\varepsilon_{s})=0 \,$ $(t \ne s) \,$ のホワイトノイズとする. $L \,$ をラグ演算子 $L^{i}y_{t}=y_{t-i} \,$ , $L^{i}\varepsilon_{t}=\varepsilon_{t-i} \,$ ( $i=1,2,\cdots \,$ ), $\phi(L) \,$ , $\theta(L) \,$ を $\textstyle \phi(L) \equiv 1-\sum_{i=1}^{p}\phi_{i}L^{i} \,$ , $\textstyle \theta(L) \equiv 1+\sum_{i=1}^{p} \theta_{i}L^{i} \,$ とする. $d \,$ を自然数として, $y_{t} \,$ の $d \,$ 階階差 $(1-L)^{d}y_{t} \,$ が定常な $\mbox{ARMA}(p,q) \,$ モデルで表現できるとき, モデル $\phi(L)(1-L)^{d}y_{t} =\theta(L)\varepsilon_{t} \,$ を次数 $(p,d,q) \,$ の自己回帰和分移動平均モデルと呼び, $\mbox{ARIMA}(p,d,q) \,$ モデルと略記する.