自己整合障壁関数

出典: ORWiki

【じこせいごうしょうへきかんすう (self-concordant barrier function)】

以下の条件を満たす開凸領域 F\subseteq \mathbf{R}^n \, 上の実数値関数 g \,.

(1) 任意の \bar{x}\in\partial F \, に収束するF \, の任意の点列 \{ x^k \} \, に対し,k\rightarrow \infty \, で g(x^k)\rightarrow\infty \, となる.

(2) 任意の x\in F \, において, 任意の方向 h\in \mathbf{R}^n \, に対して, 次が成り立つ.


\begin{array}{l} \displaystyle{\left|\sum_{i,j,k}\frac{\partial^3 g}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(x) h_i h_j h_k \right| \leq } \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle{2 \left|\sum_{i,j}\frac{\partial^2 g}{\partial x_i\partial x_j}(x) h_i h_j \right|^{3/2},} \\[1.4em] \displaystyle{\left( \sum_{i} \frac{\partial g}{\partial x_i}(x) h_i \right)^2 \leq \nu \sum_{i,j}\frac{\partial^2 g}{\partial x_i\partial x_j}(x)h_ih_j.} \end{array} \,

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